Grāmata vidusskolām. Matemātika. Varbūtības. K.Podnieks

Pirmā. X noķēra dīķī 32 zivis, iezīmēja tās un palaida atpakaļ dīķī. Pēc dažām dienām X noķēra dīķī 28 zivis, 10 no tām izrādījās iezīmētas. Cik pavisam zivju dzīvo dīķī? Nelasiet tālāk, neatbildējuši paši sev uz šo jautājumu.

Y noķēra savā dīķī 2 zivis, iezīmēja tās un palaida atpakaļ. Pēc dažām dienām Y noķēra 3 zivis, viena izrādījās iezīmēta. Cik zivju dzīvo Y dīķī?

Vienā gadījumā iznāca daļskaitlis, vai ne? Par to nav jābrīnās, jo apskatītajā veidā precīzi noteikt zivju skaitu dīķī nav iespējams. Nelasiet tālāk, neatbildējuši paši sev uz jautājumu: cik droši var ticēt katram no abiem iegūtajiem rezultātiem?

Uzdevumu risinājuma gaitai vajadzēja būt šādai. Pēc iezīmēto zivju ielaišanas X dīķī ir 32 iezīmētas zivis. Noķerot 28 zivis, 10 no tām izrādījās iezīmētas, t.i. iezīmētas bija 10/28 daļas noķerto zivju. Var domāt, ka, ja pēc iezīmēto 32 zivju ielaišanas dīķa zivis bija labi sajaukušās, tad aptuveni 10/28 daļas iezīmētu zivju ir arī dīķī kopumā. Tāpēc, ja x ir zivju kopskaits dīķī, tad 10x/28~32 un x ~90.

Noteikums "zivis labi sajaukušās" ir būtisks. Ja sākumā noķertās 32 zivis ir no īpašas sugas, kura dzīvo tikai noteiktā dīķa stūrī (tajā, kur X tās noķēra), un dīķi apdzīvo vēl citas sugas, tad iegūtais rezultāts 90 ne tuvu neizsaka zivju kopskaitu. Labi apdomājiet šo momentu.

Otro uzdevumu var risināt analoģiski pirmajam: x/3~2, tātad x~6. Diemžēl šim rezultātam absolūti nevar ticēt. Iegūtie dati neļauj apgalvot, ka dīķī dzīvo "aptuveni" 6 zivis. Arī tad, ja dīķī būtu 20 zivis un Y iezīmētu 2 no tām, nav neticami, ka pēc tam noķerot 3 zivis, no tām tikai viena būs iezīmēta.

Pirmā uzdevuma rezultātam var ticēt daudz drošāk. (Cik droši - to var pateikt tikai pēc diezgan sarežģītiem aprēķiniem.) Vēl drošāk varētu ticēt rezultātam 894, ja uzdevumā dotie skaitļi būtu 321, 284, 102.

Secinājums. Ja "eksperimenta" datos figurējošie skaitļi ir nelieli, tad nevar pielietot principu: iezīmēto zivju procents nozvejā ir aptuveni tāds pats kā zivju kopskaitā. Šo principu var lietot tikai masveida "eksperimentos", kad ir pietiekami daudz iezīmēto un nozvejoto zivju.

Uz līdzīgām idejām balstās t.s. kvalitātes statistiskā kontrole. Lielās izstrādājumu partijās grūti izsekot katra atsevišķa izstrādājuma kvalitātei. Pilnas pārbaudes vietā var pārbaudīt mazāku skaitu izstrādājumu, kuri "uz labu laimi" izvēlēti no dotās lielās partijas. Piemēram, ja sērijā ir pavisam 5000 detaļu, var izvēlēties pārbaudei tikai 100. Ja no šīm 100 derīgas izrādījās 95 detaļas, var diezgan droši apgalvot, ka arī 5000 detaļu sērijā brāķa procents nepārsniedz 5-7%. Izvēle "uz labu laimi" šeit ir ļoti svarīga, jo pārbaudot, piemēram, tikai pēdējās 100 detaļas (vai tikai katru 50. detaļu), nevar iegūt pietiekamu priekšstatu par visu sēriju.

Otrā etīde. Jau XIY gadsimtā tika izgudrota īpašuma apdrošināšana. Ideja šāda: katrs, kas vēlas apdrošināt savu īpašumu (piemēram, pret ugunsgrēku), iemaksā apdrošināšanas firmai noteiktu (nelielu) naudas summu. Ja apdrošinātais īpašums nodeg, īpašnieks saņem no firmas pilnu īpašuma vērtību naudā (tā ir summa, kas daudz lielāka par iemaksu). Varētu likties, ka šeit pārkāpts "naudas nezūdamības likums" - iemaksā maz, bet saņem daudz. Gluži tā nav. Nodeg taču tikai neliela daļa no visiem apdrošinātajiem īpašumiem. Tātad, tikai nedaudzi no īpašniekiem saņem lielās summas, toties visi iemaksā apdrošināšanas firmai katrs savu nelielo summu. Ģeniāls izgudrojums!

Jāatzīmē tomēr, ka ar vēlēšanos "palīdzēt cilvēcei" vien ir par maz, lai dibinātu apdrošināšanas firmu. Cik lielām jābūt īpašnieku iemaksām? Ja tās būs noteiktas par mazām, nauda ātri izsīks un firma bankrotēs. Ja iemaksas būs noteiktas pārāk lielas, reti kāds gribēs šķirties no tādas summas: tad jau labāk riskēt pazaudēt visu (šis risks parasti nav sevišķi liels).

Aplūkosim šādu (vienkāršotu) situāciju. Kādā pilsētā ir 10000 māju, katra 1000 dināru vērtībā. Ik gadu nodeg vidēji 80 mājas. Mūsu uzdevums ir organizēt šajā pilsētā apdrošināšanas firmu. Kādu iemaksas lielumu apdrošināšanas fondā noteikt? Pieņemsim, ka visi 10000 māju īpašnieki katru gadu iemaksā x dināru katrs, tad firmas ienākumi būs 10000x dināru gadā. Ik gadu nāksies izmaksāt kompensācijās vidēji 80*1000=80000 dināru. Tādi ir ikgadējie firmas izdevumi. Ienākumi nedrīkst būt mazāki, tātad 10000x>=80000 un x>=8 dināriem.

Ja iemaksu noteiksim zemāku par 8 dināriem, firma ātri vien bankrotēs. Faktiski pat 8 dināri ir par maz, jo jāņem vērā arī ugunsgrēku skaita svārstības pa gadiem (vienu gadu - 70, citu - 100), izdevumi firmas uzturēšanai (personāla algas, telpu īre, maksa par komunālajiem pakalpojumiem u.c.), valsts un vietējie nodokļi, kā arī firmas īpašnieka (t.i. mūsu) vēlēšanās, lai pasākums nestu peļņu. Tātad pie 80000 dināru izdevumiem jāpieskaita: rezerves fonds (pieņemsim, 30000), ekspluatācijas fonds (pieņemsim, 10000), nodokļi (pieņemsim, 5% no firmas ienākumiem) un firmas īpašnieka peļņa (pieņemsim, 5000). Ja tagad iemaksa tiks noteikta x dināru (gadā), tad kopējais ienākums būs 10000x gadā, bet izdevumi būs 125000+500x. Lai nedraudētu bankrots, vajag, lai pastāvētu nevienādība:

10000x>=125000+500x,

tātad 9,5x>=125 un x>=13,2 dināriem. Tāpēc 13,2 dināri gadā ir tā minimālā iemaksa, kas jāprasa no katra klienta, lai firma varētu sekmīgi darboties. Vai māju īpašnieki varēs to atļauties? Šķiet, varēs, jo 13,2 dināri ir tikai 1,3% no mājas vērtības (un tātad apmēram 76 gados iznāk iemaksāt pilnu mājas vērtību).

Šai vienkāršotajā piemērā mēs redzam, ka sekmīgai apdrošināšanas firmas darbībai nepieciešams visu laiku vākt ugunsgrēku skaita statistiku. Citādi var nonākt krāpnieka lomā. Svarīgi, lai ugunsgrēku procents būtu zināmā mērā ierobežots, tikai tad mūsu izdarītajiem aprēķiniem ir tā jēga, ko mēs tiem gribētu piešķirt. Ja, piemēram, apbūves blīvumam pieaugot, ugunsgrēku biežums kļūst lielāks, iemaksu apmēri jāpalielina vai arī jādiferencē atkarībā no katras mājas ugunsdrošības pakāpes (piemēram, no koka mājas īpašnieka var prasīt lielāku iemaksu nekā no mūra mājas īpašnieka). Lai šīs ieceres varētu īstenot konkrētos skaitļos, vajadzīga vēl sīkāka un pamatīgāka ugunsgrēku statistika.

Trešā etīde. Metot divus (kubiskus) spēļu kauliņus reizē, var izkrist punktu summa 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 vai 12. Vai visas summas krīt vienādi bieži? Nelasiet tālāk, nepamēģinājuši patstāvīgi atrast atbildi.

Metot vienu kauliņu, ja tas ir pilnīgi simetrisks, visi cipari (1, 2, 3, 4, 5, 6) krīt apmēram vienādi bieži. Tas ir svarīgs dabas likums. Ja kāds cipars krīt daudz biežāk nekā citi, mēs tūlīt domājam, ka kauliņam ir kāds defekts (nobīdīts smaguma centrs). Metot divus kauliņus A un B, vienādi bieži kritīs pāri (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1),..., (A6,B6). Pavisam te ir 36 iespējas (katra no kauliņa A sešām iespējām brīvi kombinējas ar kauliņa B sešām iespējām, tātad kopā iznāk 6*6=36 varianti).

Visas šīs iespējas var attēlot tabulā:

B \ A	1	2	3	4	5	6
1	11	12	13	14	15	16
2	21	22	23	24	25	26
3	31	32	33	34	35	36
4	41	42	43	44	45	46
5	51	52	53	54	55	56
6	61	62	63	64	56	66

Katrai no iespējām atbilst noteikta ciparu summa:

B \ A	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Katra no 36 kombinācijām krīt apmēram vienādi bieži, tāpēc, acīmredzot, visbiežāk jākrīt summai 7: sešos gadījumos no 36. Aiz 7 nāk 6 un 8: piecos gadījumos no 36. Visretāk, kā to azarta spēļu cienītāji jau būs ievērojuši, krīt summas 2 un 12 - tikai vienā gadījumā no 36.

1. uzdevums. Noskaidrojiet, kāda summa visbiežāk sastopama, metot trīs kauliņus reizē.

2. Varbūtības jēdziens

Praksē nereti jāsastopas ar norisēm, kuras dod dažādus rezultātus atkarībā no apstākļiem, kurus mēs nezinām vai arī nespējam ņemt vērā. Piemēram, metot spēļu kauliņu, mēs nevaram iepriekš paredzēt, kāds cipars uzkritīs, jo tas atkarīgs no ļoti daudziem apstākļiem, kurus mēs nespējam ņemt vērā: rokas kustības detaļas, tās virsmas īpatnības, uz kuru kauliņš krīt utml. Tāpat nevar iepriekš precīzi paredzēt, cik lietainu dienu būs nākamgad, nevar droši zināt, cik kļūdu būs skolniekam nākošajā kontroldarbā...

Nevajag tomēr domāt, ka šajās norisēs nav nekādu likumsakarību. Tiesa, atsevišķa "mēģinājuma" (kauliņa metiena, kontroldarba utt.) rezultātu iepriekš paredzēt mēs nespējam. Bet ja "mēģinājumus" daudzreiz atkārto? Daudzreiz metot kauliņu, var ievērot, ka visi cipari krīt apmēram vienādi bieži. Tā taču ir likumsakarība! Tātad, lai arī atsevišķs kauliņa metiens dod nejaušu, iepriekš neparedzamu rezultātu, garā metienu sērijā nejaušība daļēji zūd - parādās likumsakarība: dažādu ciparu krišanas biežums ir aptuveni viens un tas pats.

Precīzi runājot, biežums ir to "mēģinājumu" skaita, kuros mūs interesējošais rezultāts parādījās, attiecība pret visu "mēģinājumu" kopskaitu. Piemēram, spēļu kauliņu met 6000 reizes, sešinieks uzkrīt 980 gadījumos. Sešinieka biežums šajā sērijā tātad ir 980/6000. Tas ir diezgan tuvu skaitlim 1/6. Citā 6000 metienu sērijā var izrādīties, ka sešinieks uzkrīt 1025 reizes. Tomēr arī šeit biežums 1025/6000 1ir tuvu 1/6. Garās metienu sērijās visi seši cipari krīt apmēram vienādi bieži - tāpēc arī katra cipara biežums dažādās sērijās svārstās tuvu 1/6.

Līdzīgu gadījumu ir samērā daudz: katra atsevišķa "mēģinājuma" rezultātu paredzēt mēs nespējam, toties garā "mēģinājumu" sērijā mūs interesējošā rezultāta parādīšanās biežums svārstās tuvu kādam nemainīgam skaitlim. Piemēram, ir novērots, ka katram konkrētam šāvējam trāpījumu biežums mērķī (dotajos šaušanas apstākļos) gandrīz vienmēr ir aptuveni viens un tas pats (piemēram, 87 no 100), tikai ļoti nedaudz novirzoties no vidējās vērtības. (Ar laiku šī vidējā vērtība, protams, var izmainīties, tad mēdz teikt, ka šāvējs pilnveido savu māku - vai arī otrādi - "zaudē formu".)

Katrā no šādiem gadījumiem tātad eksistē kāds noteikts skaitlis, kas objektīvi raksturo spēļu kauliņu, šāvēju utt. un kuram apkārt visu laiku svārstās attiecīgā rezultāta (sešinieka uzkrišana, trāpījums mērķī utt.) parādīšanās biežums garās "mēģinājumu" sērijās. Šo skaitli, kura tuvumā svārstās rezultāta (vai "notikuma") parādīšanās biežums, pieņemts saukt par varbūtību. Ja mēs sakām, ka sešinieka uzkrišanas varbūtība ir 1/6, tas nozīmē, ka pietiekami garā spēļu kauliņa metienu sērijā aptuveni viena sestā daļa metienu dos sešnieku. (Sērijai obligāti jābūt garai, lai varbūtība spētu "sevi parādīt" - ja metienu skaits būs tikai daži desmiti, biežuma novirzes no varbūtības var būt ļoti lielas, piemēram, 18 metienu sērijā var uzkrist 5 sešinieki un nevis 3).

Tā vai cita notikuma varbūtību var tuvināti novērtēt, apkopojot statistiku: garās mēģinājumu sērijās jāsaskaita, cik gadījumos notikums parādījies un jāizdala šis skaitlis ar visu mēģinājumu kopskaitu sērijā. Tomēr pašas varbūtības pastāvēšana, protams, nav atkarīga no tā, vai mēģinājumus izdara vai nē. Tāpēc rodas dabisks jautājums: vai nevarētu izgudrot kādas metodes, kas ļautu noteikt dažādu notikumu varbūtības bez iepriekšējiem mēģinājumiem? Zinot tādas metodes, mēs varētu mēģinājumu rezultātus paredzēt uz priekšu (protams, ne jau atsevišķa meģinājuma rezultātu, bet gan garu sēriju rezultātus!). Praksē tas varētu būt ļoti noderīgi.

Aplūkosim šādu piemēru. Ņemsim slēgtu kasti, kuras vākā ir caurums. Ievietosim šai kastē 10 nelielas lodītes (5 baltas, 3 melnas, 2 sarkanas). Kastes saturu pamatīgi samaisīsim. (Jāatzīmē, ka literatūrā šo slaveno kasti visbiežāk sauc par urnu.) Izvilksim no urnas (neieskatoties tajā, t.i., "uz labu laimi") vienu lodīti. Jājautā: kāda varbūtība, ka izvilktā lodīte būs iepriekš izvēlētā krāsā, piemēram, baltā? Pilnīgi skaidrs, ka mums ir 5 iespējas no 10 izvilkt baltu lodīti, 3 no 10 - izvilkt melnu un 2 no 10 - sarkanu lodīti. Citiem vārdiem sakot, varbūtība izvilkt baltu, melnu vai sarkanu lodīti ir attiecīgi: 5/10, 3/10, 2/10.

Un tiešām, ja mēs šādus mēģinājumus ar lodītes vilkšanu daudzreiz atkārtotu (katru reizi atliekot izvilkto lodīti atpakaļ urnā un urnas saturu pamatīgi samaisot), mēs varētu pārliecināties, ka apmēram 50% visu gadījumu tiek izvilkta balta lodīte, 30% - melna un 20% - sarkana.

Līdzīgā veidā būtu risināmi uzdevumi par varbūtību noteikšanu, ja urnā ir arī jebkurš cits skaits lodīšu jebkurā skaitā krāsu.

Daudzi uzdevumi varbūtību noteikšanai viegli reducējami uz urnu ar lodītēm. Piemēram, monētas mešana. Monēta griezdamās un virpuļodama uzlido augstu gaisā: nokrītot zemē, tai virspusē ir vai nu "cipars", vai "ģērbonis". Liekas skaidrs, ka tos pašus rezultātus var iegūt, ņemot urnu ar 2 vienādām lodītēm - uz vienas uzrakstīts "cipars", uz otras - "ģērbonis". Monētas mešana ir līdzvērtīga lodītes vilkšanai no urnas. Abu lodīšu izvilkšana ir vienādi iespējama, tātad gan ciparam, gan ģērbonim jāpieraksta viena un tā pati varbūtība 1/2. Un tiešām, ja ilgi met monētu, var ievērot, ka cipars un ģērbonis krīt aptuveni vienādi bieži - uz katru iznāk vidēji 50% metienu.

Vēl viens piemērs. Kāda varbūtība, ka, metot spēļu kauliņu, uzkritīs cipars, kurš dalās ar 3? Kauliņa mešanai var būt seši iznākumi - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tā vietā varam iedomāties urnu ar 6 lodītēm, uz kurām uzrakstīts katrai savs cipars. Ar 3 dalās tikai 3 un 6; nokrāsosim šīs lodītes melnas, pārējās atstājot baltas. Urnā tātad ir 6 lodītes, no tām 2 melnas. Varbūtība izvilkt melnu lodīti tāpēc ir 2/6 = 1/3. Tāda pati ir varbūtība pie kauliņa mešanas uzkrist skaitlim, kurš dalās ar 3.

Un beidzot, atgriezīsimies pie uzdevuma, ko aplūkojām 1.sadaļas trešajā etīdē par kauliņu pāra mešanu. Kāda varbūtība, ka uzkritīs summa 7? Kauliņu pāra vietā var iedomāties urnu ar 36 lodītēm, uz katras uzrakstīts savs ciparu pāris: 11, 12, 21,...,66. Nodzēsīsim šos ciparus, vietā uzrakstot to summas. Tad uz katras lodītes atradīsies kāds skaitlis no 2 līdz 12. Skaitlis 7 būs uz 6 lodītēm (uz tām, uz kurām sākumā bija 16, 25, 34, 43, 52, 61). Tātad varbūtība izvilkt summu 7 iznāk 6/36 = 1/6. Varbūtība izvilkt summu 8 ir tikai 5/36, jo skaitlis 8 ir uz 5 lodītēm no 36 36(26, 35, 44, 53, 62). Un tiešām, ja ilgi met kauliņus, var ievērot, ka summa 7 krīt biežāk nekā summa 8 un citas summas.

Tagad nebūs grūti formulēt vispārīgo principu šādu uzdevumu risināšanai. Noteikums, ka lodītes urnā ir pamatīgi sajaukušās un ka lodīte jāvelk, neskatoties urnā, garantē, ka mums ir pilnīgi vienāds pamats sagaidīt, ka tiks izvilkta jebkura no lodītēm, kas atrodas urnā. Visu lodīšu izvilkšana ir vienādi iespējama. Ja lodīšu urnā ir pavisam 10, dabiski uzskatīt, ka katra no tām var tikt izvilkta ar varbūtību 1/10 (summā iznāk 1). Ja baltu lodīšu urnā ir 5 (no 10), tad varbūtībai izvilkt baltu jābūt 5/10 = 1/2. Līdzīgi jāspriež arī pārējos piemēros. Pieredze rāda, ka apskatītajā veidā izrēķinātās varbūtības arī ir tie pastāvīgie skaitļi, ap kuriem svārstās notikumu (baltas lodītes izvilkšana, summas 7 uzkrišana un tml.) parādīšanās biežums garās "mēģinājumu" sērijās. Tas ir svarīgs dabas likums, bez kura varbūtību teorijai nebūtu nekādas praktiskas nozīmes.

Tomēr ne mazāk skaidri jāapzinās, ka šis apgalvojums nav matemātiski pierādīts fakts, bet cilvēces simtiem gadu pieredzē no novērojumiem izkristalizējusies pārliecība. No matemātikas viedokļa tā pareizība nav pierādīta ne par vienu procentu vairāk kā, piemēram, Ņūtona likums: ķermenis, uz kuru neiedarbojas ārēji spēki, kustas taisnā virzienā ar nemainīgu ātrumu.

Vispārinot aplūkotos piemērus, nonākam pie šāda principa. Ja kādam procesam, to atkārtojot vienādos apstākļos, var būt n vienādi iespējami iznākumi, tad katram no tiem pierakstāma varbūtība 1/n. Ja m iznākumus (no kopskaita n) pavada notikums A (piemēram, A = "uzkrīt summa 7"). tad notikumam A jāpieraksta varbūtība m/n. Simboliski:

P(A) = m/n,

ko lasa "A varbūtība" vai "varbūtība priekš A". Vārdiem to mēdz formulēt arī tā: notikuma varbūtība vienāda "labvēlīgo" iznākumu skaita attiecībai pret visu (vienādi iespējamo) iznākumu skaitu. Nedomājiet, ka tā ir varbūtības jēdziena definīcija. Šeit aprakstīta tikai varbūtību aprēķināšanas metode plašai uzdevumu klasei - kad izdodas izdalīt vienādi iespējamu "pamatnotikumu" sistēmu.

gramata, matematika, skola, vidusskola, varbutibu teorija, varbutiba, macibu gramata, Karlis, Podnieks